Question

在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=

 

度；
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
（3）结论：α与β之间的数量关系是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由∠BAC=90°，AB=AC，就可以得出∠B=∠ACB=45°，由△ABD≌△ACE就可以得出∠B=∠ACE=45°，就可以得出结论；
（2）①由条件可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠B=∠ACE，根据∠B+∠ACB+∠BAC=180°，就可以得出∠ACE+∠ACB+∠BAC=180°，从而得出结论；
②先根据条件画出图形，再证明△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，根据等式的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）90 度；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACE=90°，
即∠DCE=90°．
故答案为：90°；
（2）①α+β=180°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=∠DCE=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
（3）α=β
理由：如图，根据条件画出图形，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠DCE，
∴α=β．
故答案为：α=β．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．