Question

10．（1）已知：x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$），求x²+y²与$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的值．
（2）已知a=$\frac{1}{10-3\sqrt{11}}$，b=$\frac{1}{10+3\sqrt{11}}$，求$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出x+y与xy的值，再代入代数式进行计算即可；
（2）先把a、b化为最简二次根式的形式，代入代数式进行计算即可．

解答 解：（1）∵x=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$），y=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$），
∴x+y=$\sqrt{7}$，xy=$\frac{1}{2}$，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=7-1=6；
$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}}$=12；

（2）∵a=$\frac{1}{10-3\sqrt{11}}$，b=$\frac{1}{10+3\sqrt{11}}$，
∴a=10+3$\sqrt{11}$，b=10-3$\sqrt{11}$，
∴a+b=20，ab=1．
∵a＞b，
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$＞0，
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=$\sqrt{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}$=$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{20-2}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．