Question

19．如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长相等的正方形
（1）猜想：∠1+∠2+∠3=90°；
（2）证明你的猜想，提示：设正方形的边长为1．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出猜想即可；
（2）设正方形的边长为1，由正方形的性质得出∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=1，∠B=90°，EC=2，由勾股定理求出AE=$\sqrt{2}$，证出 $\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，再由公共角∠AEF=∠CEA，得出△AEF∽△CEA，得出对应角相等∠2=∠EAC，再由三角形的外角性质即可得出结论．

解答 （1）解：猜想：∠1∠+2+∠3=90°．
故答案为：90；

（2）证明：设正方形的边长为1，
∵四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为1的正方形，
∴∠AEB=45°，AB=BE=EF=FC=1，∠B=90°，
∴EC=2a，AE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$．
又∵∠AEF=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA，
∴∠2=∠EAC，
∵∠3=∠EAC+∠1=45°，
∴∠1∠+2+∠3=90°．

点评 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键，属于中考常考题型．