Question

20．如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；
（3）求证：∠FEA+∠PFC=45°；
（4）求证：S_△PFC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）如图，作辅助线；证明△APF≌△BPE，得到AF=BE，即可解决问题．
（2）由△APF≌△BPE，得到PE=PF，即可解决问题．
（3）证明∠PFA=∠PEB，即可解决问题．
（4）首先证明S_△APF=S_△PBE，即可解决问题．

解答 证明：（1）连结AP，EF；
∵△ABC为等腰直角三角形，且点P为斜边BC的中点，
∴PA=PB=PC，PA⊥BC；而∠EPF=90°，
∴∠APF=∠BPE，∠PAC=∠PBA=45°，
∴∠PAF=∠PBE=135°；
在△APF与△BPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAF=∠PBE}\\{PA=PB}\\{∠APF=∠BPE}\end{array}\right.$，
∴△APF≌△BPE（ASA），
∴AF=BE，而AB=AC，
∴AE=CF．
（2）∵△APF≌△BPE，
∴PF=PE，而∠EPF=90°，
∴△EPF为等腰直角三角形．
（3）∵△APF≌△BPE，
∴∠PFA=∠PEB，
∴∠FEA+∠PFC=∠FEA+∠PEB=45°．
（4）∵△APF≌△BPE，
∴S_△APF=S_△PBE，
∴S_△PFC-S_△PBE=S_△PFC-S_△APF
=S_△APC，而${S}_{△APC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
∴S_△PFC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．