Question

5．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．
自主探究：
（1）当$\frac{BE}{CE}$=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．
①CF的长为6；
②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．
（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为6$\sqrt{2}$，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
拓展运用：
　（3）当$\frac{BE}{CE}$=2时，求sin∠DAB′的值．

Answer 1

分析 （1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；
②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；
（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；
（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．

解答 解：（1）①当$\frac{BE}{CE}$=1时，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{AB}{FC}$=1，
∴FC=AB=6，
②AM=FM，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴∠BAF=∠AFC，
∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，
∴∠BAF=∠MAF，
∴∠MAF=∠AFC，
∴AM=FM；
（2）如图2，

∵当点B′恰好落在对角线AC上时，
∴∠1=∠2，
∵AB∥FC，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AC=FC，
∵AB=BC=6，
∴AC=FC=6$\sqrt{2}$，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{AB}{FC}$=$\frac{6}{6\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，

∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{AB}{CF}$=2，
∵AB=6，
∴CF=3，
∴DF=CD+CF=9，
由（1）知：AM=FM，
∴AM=FM=9-DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′²=（9-DM）²-6²，
解得：DM=$\frac{5}{2}$，则MA=$\frac{13}{2}$，
∴sin∠DAB′=$\frac{DM}{AM}$=$\frac{5}{13}$，
②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，

由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，
∴NA=NE=12-B′N，
在Rt△AB′N中，由勾股定理得：B′N²=（12-B′N）²-6²，
解得：B′N=$\frac{9}{2}$，
AN=$\frac{15}{2}$，
∴sin∠DAB′=$\frac{B'N}{AN}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：6；6$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．