Question

如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．

∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y=a(x-1)²-4，解得a=1，

∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，

此时PO平分第三象限，即PO的解析式为y=-x．

设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=（m=>0，舍），

∴P（，）．        

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，

∴，即，∴DQ₁=，

∴OQ₁=，即Q₁（0，）；

②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，

∴，即，

∴OQ₂=，即Q₂（0，）；

③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，

则△BOQ₃∽△Q₃EA，

∴，即，

∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，

即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．

综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．