Question

已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y=-的图象上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M₁在第二象限．
（1）如图所示，若反比例函数解析式为y=-，P点坐标为（1，0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ₁M₁N₁，并写出点M₁的坐标；M₁的坐标是______．
（2）请你通过改变P点坐标，对直线M₁M的解析式y﹦kx+b进行探究可得k﹦______，若点P的坐标为（m，0）时，则b﹦______；
（3）依据（2）的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M₁和点M的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据要求，画出符合条件的另一个正方形PQ₁M₁N₁，即可写出点M₁的坐标；
（2）由于四边形PQMN与四边形PQ₁M₁N₁都是正方形，结合图象分析，可得出M₁、P、M三点共线，再求得直线M₁M的斜率，代入P点坐标，求得b=m；
（3）依据（2）的规律，如果点P的坐标为（6，0），则直线M₁M的解析式为y=-x+6，又点M（x，y）在反比例函数y=-的图象上，故x•（-x+6）=-2，解此方程，求出x的值，进而得出点M₁和点M的坐标．
解答：解：（1）如图，画出符合条件的另一个正方形PQ₁M₁N₁，
则容易看出M₁的坐标为（-1，2）；

（2）由于四边形PQMN与四边形PQ₁M₁N₁都是正方形，
则∠MPN=∠Q₁PM₁=45°，∠Q₁PN=90°，∴∠M₁PM=180°，
∴M₁、P、M三点共线，由tan∠Q₁PM₁=1，
可知不管P点在哪里，k﹦-1；
把x=m代入y=-x+b，得b=m；

（3）由（2）知，直线M₁M的解析式为y=-x+6，
则M（x，y）满足x•（-x+6）=-2，
解得x₁=3+，x₂=3-，
∴y₁=3-，y₂=3+．
∴M₁，M的坐标分别为（3-，3+），（3+，3-）．
点评：此题综合考查了反比例函数的性质，正方形等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．