Question

如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点，过O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）填空：不添加辅助线，则图中全等的三角形共有______对．

Answer 1

（1）证明：在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
又∵OA=OC，∠EOA=∠FOC，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．

（2）由（1）知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，∠FOA=∠EOC，OA=OC，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∵FC=EA，AF=CE，AC=AC，
∴△AFC≌△CEA（SSS），
∵FC=EA，CE=AF，EF=FE，
∴△AFE≌△CEF（SSS），
∵AD=CB，DC=BA，AC=CA，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
因此，共6对．