Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
（1）如图①，若E在边AC上．试说明：①AE=CF； ②CG=GD；
（2）如图②，若E在边CA的延长线上．（1）中的两个结论是否仍成立？（直接写出成立结论的序号，不要说明理由）
（3）若AE=3，CH=5，求边AC的长．

Answer 1

（1）证明：①如图①．
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCB，
即∠A=∠DCF．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=EF．
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴GD=EF．
∴CG=GD；

（2）解：①②还成立．
①AE=CF，证明如下：
如图②，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°．
∵CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，AD=CD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°，∠FCD=180°-∠BCD=135°，
∴∠EAD=∠FCD．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF；
②CG=GD．证明如下：
Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=EF．
在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=EF．
则CG=GD；

（3）解：AC=7或1，理由是：
∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=CH=×5=2.5，
∵∠EDF=90°，G为EF中点，
∴DG=EF，
∴EF=5，
∵AE=3，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC==4，
∴AC=AE+CE=3+4=7；
如图②，同理求出EF=5，CF=3，
在R△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，
则AC=CE-AE=4-3=1，
综合上述：AC=7或1．
分析：（1）①通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；
②根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；
（2）①②都成立．思路同（1）；
（3）求出EF的长是5，在Rt△ECF中，CF=3，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的综合运用，题目具有一定的代表性，证明过程类似．