Question

6．如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的圆O分别交两腰于D、E，连结DE，求证：
（1）DE∥BC；
（2）若D是AB中点，则ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）首先连接BE、CD，即可得△ABC是等腰三角形，又由BC是⊙O直径，易证得△BDC≌△CEB，即可证得AD=AE，故可得出DE是△ABC的中位线，据此可得出结论；
（2）若D是AB中点，由CD⊥AB，DE⊥AC，可证得△BCD≌△CDA，可得BC=CA，又由AB=AC，即可得△ABC是等边三角形．

解答 证明：（1）连接BE、CD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC=∠ECB，AB=AC，
∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△BDC与△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠CEB}\\{∠DBC=∠ECB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴BD=CE，
∴AD=AE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC；

（2）∵D是AB中点，BC是直径，
∴CD⊥AB，
∴BC=CA，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．

点评 此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．