分析 （1）根据题意先求得M的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）通过三角形全等求得PB=CN，BM=PN，分类讨论P在B点的左边与右边，从而求得C的坐标；
（3）分类讨论点P在OB上时、OE上时，把C的横坐标代入抛物线的解析式求得D的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列出等式，解这个方程即可求得a的值，进而求得P的坐标．
解答 解：（1）∵点A与点O关于MB对称，
∴抛物线的对称轴为x=4．
又∵MB=4，
∴M（4，-4）．
将点A和点M的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b=0}\\{16a+4b=-4}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x2-2x．
（2）∵∠MPB+∠BPC=90°，∠MPB+∠PMB=90°，
∴∠CPB=∠PMB．
在△MPB和△PCN中$\left\{\begin{array}{l}{∠CPB=∠PMB}\\{∠MBP=∠CNP}\\{PC=CM}\end{array}\right.$
∴△MPB≌△PCN．
∴PB=CN，PN=BM=4
∵P（a，0），OP=a，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CN=|4-a|，ON=|a+4|
①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，
a＜4，4-a＞0，PB=CN=4-a，
∴C（a+4，4-a）
②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，
a＞4，4-a＜0，
∴PB=|4-a|=-（4-a）=a-4
∴CN=a-4
∴C（a+4，4-a）
综上所述，点C坐标是C（a+4，4-a）
（3）如图1所示，当点P在OB上时，
由（2）可知点C的坐标为（a+4，4-a）．
∵四边形BMDC为平行四边形，
∴CD=BM=4．
将x=a+4代入抛物线的解析式得：y=$\frac{1}{4}$（a+4）2-2（a+4）=$\frac{1}{4}$a2-4．
∴CD=4-a-（$\frac{1}{4}$a2-4）=4，解得：a=-2+2$\sqrt{5}$或a=-2-2$\sqrt{5}$（舍去）．
∴点P的坐标为（-2+2$\sqrt{5}$，0）．
如图2所示：当点P在线段BA上时．点C的坐标为（a+4，4-a），则点D的坐标为（a+4，$\frac{1}{4}$a2-4）
∴CD=$\frac{1}{4}$a2-4-（4-a）=4．
解得：a=-2+2$\sqrt{13}$或a=-2-2$\sqrt{13}$（舍去）．
∴点P的坐标为（-2+2$\sqrt{13}$，0）．
综上所述，点P的坐标为（-2+2$\sqrt{13}$，0）或（-2+2$\sqrt{5}$，0）．
点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、函数图象的交点的求法，找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质得到相关线段的长度是解答问题（2）的关键，依据平行四边形的对边相等列出关于a的方程是解题的关键．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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如图，某货轮上午8时20分从A处出发，此时观测到海岛B的方位为北偏东60°，该货轮以每小时30海里的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北偏东30°，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位为北偏西30°．当货轮到达C处时恰好与海岛B相距60海里，求该货轮到到达C，D处的时间．查看答案和解析>>
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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC=$\sqrt{3}$：1．
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，AB=6，AC=10，则AE=8．