Question

已知关于x的方程kx²-2x+1=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在k使（x₁+1）（x₂+1）=k-1成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的定义以及△的意义得到k≠0且△≥0，即4-4k≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=

2

k

，x₁•x₂=

1

k

，而（x₁+1）（x₂+1）=k-1，展开得x₁•x₂+x₁+x₂+1=k-1，即

1

k

+

2

k

+1=k-1，再解分式方程得到k₁=3，k₂=-1，然后利用（1）中的k的范围即可确定k的值．

解答：解：（1）根据题意得k≠0且△≥0，即4-4k≥0，解得k≤1，
所以k的取值范围为k≤1且k≠0；

（2）存在，k=-1．理由如下：
根据题意得x₁+x₂=

2

k

，x₁•x₂=

1

k

，
∵（x₁+1）（x₂+1）=k-1，
∴x₁•x₂+x₁+x₂+1=k-1，即

1

k

+

2

k

+1=k-1，
化为整式方程得k²-2k-3=0，
∴（k-3）（k+1）=0，
∴k₁=3，k₂=-1，
∵k≤1且k≠0；
∴k=-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．