Question

12．已知x₁、x₂为方程x²-tx+4=0的两个根，求x₁²+x₂²的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意可以分别求得两根之和与两根之积，从而可以求得x₁²+x₂²的取值范围．

解答 解：∵x₁、x₂为方程t²-tx+4=0的两个根，
∴x₁+x₂=$-\frac{-t}{1}$=t，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4}{1}$=4，△=（-t）²-4×1×4≥0，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=t²-8，t²≥16，
∴t²-8≥8，
即x₁²+x₂²的取值范围是：x₁²+x₂²≥8．

点评 本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确题意，求出两根之和与两根之积，注意题目中两个根没有说明是否相等，故△≥0．