Question

15．如图，点A，B坐标分别为（8，0）、（0，6），点C是线段AB的中点，点P是射线BA上一动点，过P作PD⊥y轴于D，PE⊥x轴于E，设OE=t，矩形OEPD与△POC重合部分的面积为S．
（1）求线段OC所在直线的解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）当点P在线段AB上时，求S的最大值；
（4）若S=2，则t的值有4个．

Answer 1

分析 （1）点C为AB的中点，所以C（4，3），用待定系数法求出线段OC所在直线的解析式；
（2）分0≤t≤4、4＜t＜8和t＞8三种情况进行讨论，利用三角形的面积公式求解；
（3）分0≤t≤4和4＜t＜8两种情况，分别利用函数的性质求解；
（4）分0≤t≤4和4＜t＜8两种情况，分别求得S的范围即可求解．

解答 解：（1）∵点A，B坐标分别为（8，0）、（0，6），点C是线段AB的中点，
∴C（4，3），
设线段OC所在直线的解析式为y=kx，把C（4，3）代入得k=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x．
（2）∵点A，B坐标分别为（8，0）、（0，6），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6
P的横坐标是t，则纵坐标是-$\frac{3}{4}$t+6
在y=$\frac{3}{4}$x中，令x=t，则y=$\frac{3}{4}$t，即S的坐标是（t，$\frac{3}{4}$t）．
如图1，当0≤t≤4时，重合部分是△OPS，则S=$\frac{1}{2}$【（-$\frac{3}{4}$t+6）-$\frac{3}{4}$t】t=-$\frac{3}{4}$t²+3t；
如图2，当4＜t＜8时，在y=$\frac{3}{4}$x中，令y=-$\frac{3}{4}$t+6，则$\frac{3}{4}$x=-$\frac{3}{4}$t+6，解得：x=-t+8，即F的横坐标是-t+8，则PF=t-（-t+8）=2t-8，
则S=$\frac{1}{2}$（2t-8）•（-$\frac{3}{4}$t+6），即S=-$\frac{3}{4}$t²+9t-24；
当t＞8时，重合部分是△PAC，高为PE=$\frac{3}{4}$t-6，底为OA=8，
∴S=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$t-6）×8=3t-24；
（3）0≤t≤4时，则t=2时，S的最大值是3；
当4＜t＜8时，当t=6时，S的最大值是3；
总之，当0＜t＜8时，S的最大值是3；
（4）当0≤t≤4时，则0＜S≤3，则当S=2的t的值有2个；
2＜m＜4时，0＜S≤3，则S=2的t的值有2个．
故当S=2时，t的值有4个．
故答案是：4．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及运用二次函数的性质求最值，正确求出各段函数的解析式是解决问题的关键．