Question

如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点P、交⊙O于点D，连接DB、DC，在AD上取一点I，使DI=DB．
（1）求证：DI²=DP•AD；　　
（2）求证：∠ABI=∠CBI；
（3）若⊙O的半径为，∠BAC=120°，求△BDC的面积？

Answer 1

证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDA=∠BDP，
∴△BDA∽△PDB，
∴BD²=AD•DP，
∵DI=DB，
∴DI²=DP•AD；

（2）∵DI=DB，
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI；

（3）∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵⊙O的半径为，
∴BC=3，
∴S_△BDC=．
分析：（1）根据题意可推出∠BAD=∠CBD，即可推出△BDA∽△PDB，所以BD²=AD•DP，即DI²=DP•AD；
（2）根据题意和外角的性质，即可推出∠IBD=∠BID，∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，即∠ABI=∠CBI；
（3）根据题意可推出△BCD为等边三角形，由⊙O的半径即可推出BC的长度和△BCD的面积．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理，关键在于熟练地运用个定理性质，求△BDA∽△PDB，△BCD为等边三角形．