【题目】如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.
(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵抛物线的对称轴x=1,B(3,0),
∴A(﹣1,0)
∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3)
∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0)
∴ ,
∴
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3
(2)
解:∵C(0,3),B(3,0),
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点坐标为(1,4)
∵对于直线BC:y=﹣x+1,当x=1时,y=2;将抛物线L向下平移h个单位长度,
∴当h=2时,抛物线顶点落在BC上;
当h=4时,抛物线顶点落在OB上,
∴将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),
则2≤h≤4
(3)
解:设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),
①当P点在x轴上方时,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,如图所示:
∵B(3,0),
∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,
∴∠BPQ=90°,BP=PQ,
则∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP,
在△PQM和△BPN中, ,
∴△PQM≌△BPN(AAS),
∴PM=BN,
∵PM=BN=﹣m2+2m+3,根据B点坐标可得PN=3﹣m,且PM+PN=6,
∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,
解得:m=1或m=0,
∴P(1,4)或P(0,3).
②当P点在x轴下方时,过P点作PM垂直于l于M点,过B点作BN垂直于MP的延长线与N点,
同理可得△PQM≌△BPN,
∴PM=BN,
∴PM=6﹣(3﹣m)=3+m,BN=m2﹣2m﹣3,
则3+m=m2﹣2m﹣3,
解得m= 或 .
∴P( , )或( , ).
综上可得,符合条件的点P的坐标是(1,4),(0,3),( , )和( , ).
【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)先求出直线BC解析式为y=﹣x+3,再求出抛物线顶点坐标,得出当x=1时,y=2;结合抛物线顶点坐即可得出结果;(3)设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),由勾股定理得出PB2=(m﹣3)2+(﹣m2+2m+3)2 , PQ2=(m+3)2+(﹣m2+2m+3﹣n)2 , BQ2=n2+36,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,由AAS证明△PQM≌△BPN,得出MQ=NP,PM=BN,则MQ=﹣m2+2m+3﹣n,PN=3﹣m,得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m,解方程即可.本题是二次函数综合题目,考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形的相关知识点,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能正确解答此题.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y= (k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.
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【题目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A、C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,
PE=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)是否存在点P使△PEF是Rt△?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AOOM,OA=8,点B为射线OM上的一个动点,分别以OB、AB为直角边,B为直角顶点,在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交OM于P点,当点B在射线OM上移动时,PB的长度是 ( )
A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. PB的长度随B点的运动而变化
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.
(1)若AC=12,BC=15,求△ABD的周长;
(2)若∠B=20°,求∠BAD的度数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出点△A1,B1,C1的坐标(直接写答案):A1_________;B1________;C1________;
(3)求△A1B1C1的面积;
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)求证:MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ,tan∠ABC= ,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
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