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【题目】如图,抛物线L:y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3),已知对称轴x=1.

(1)求抛物线L的解析式;
(2)将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),求h的取值范围;
(3)设点P是抛物线L上任一点,点Q在直线l:x=﹣3上,△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵抛物线的对称轴x=1,B(3,0),

∴A(﹣1,0)

∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3)

∴当x=0时,c=3.

又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0)

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3


(2)

解:∵C(0,3),B(3,0),

∴直线BC解析式为y=﹣x+3,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴顶点坐标为(1,4)

∵对于直线BC:y=﹣x+1,当x=1时,y=2;将抛物线L向下平移h个单位长度,

∴当h=2时,抛物线顶点落在BC上;

当h=4时,抛物线顶点落在OB上,

∴将抛物线L向下平移h个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC的边界),

则2≤h≤4


(3)

解:设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),

①当P点在x轴上方时,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,如图所示:

∵B(3,0),

∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,

∴∠BPQ=90°,BP=PQ,

则∠PMQ=∠BNP=90°,∠MPQ=∠NBP,

在△PQM和△BPN中,

∴△PQM≌△BPN(AAS),

∴PM=BN,

∵PM=BN=﹣m2+2m+3,根据B点坐标可得PN=3﹣m,且PM+PN=6,

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6,

解得:m=1或m=0,

∴P(1,4)或P(0,3).

②当P点在x轴下方时,过P点作PM垂直于l于M点,过B点作BN垂直于MP的延长线与N点,

同理可得△PQM≌△BPN,

∴PM=BN,

∴PM=6﹣(3﹣m)=3+m,BN=m2﹣2m﹣3,

则3+m=m2﹣2m﹣3,

解得m=

∴P( )或( ).

综上可得,符合条件的点P的坐标是(1,4),(0,3),( )和( ).


【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)先求出直线BC解析式为y=﹣x+3,再求出抛物线顶点坐标,得出当x=1时,y=2;结合抛物线顶点坐即可得出结果;(3)设P(m,﹣m2+2m+3),Q(﹣3,n),由勾股定理得出PB2=(m﹣3)2+(﹣m2+2m+3)2 , PQ2=(m+3)2+(﹣m2+2m+3﹣n)2 , BQ2=n2+36,过P点作PM垂直于y轴,交y轴与M点,过B点作BN垂直于MP的延长线于N点,由AAS证明△PQM≌△BPN,得出MQ=NP,PM=BN,则MQ=﹣m2+2m+3﹣n,PN=3﹣m,得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m,解方程即可.本题是二次函数综合题目,考查了用待定系数法求出抛物线的解析式、抛物线的顶点式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形的相关知识点,需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能正确解答此题.

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