Question

9．已知：矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据正方形的两边相等得到方程的两根相等，从而利用根的判别式确定m的值，代入方程求得正方形的边长即可；
（2）将AB的长代入方程求得m的值，从而得到方程求得方程的另一根，利用矩形的周长计算方法求得矩形的周长即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△=m²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=（m-1）²，（m-1）²=0时，
即m=1时，四边形ABCD是正方形，
把m=1代入x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，得x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
∴正方形ABCD的边长是$\frac{1}{2}$；

（2）把AB=2代入x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，得4-2m+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$，
把m=$\frac{5}{2}$代入x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0，得x²-$\frac{5}{2}$x+1=0，
解得x=2或x=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD的周长是2×（2+$\frac{1}{2}$）=5．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式的知识，解题的关键是结合正方形的性质得到方程有两根相等的实数根，从而确定方程的解，难道不大．