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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在DA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上.

(1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线经过B,H, D三点,求抛物线解析式;
(3)点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B, D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC 和 BD于点N, M,是否存在这样的点P,使如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:(1)由翻折可知:△BCD≌△BED,∴∠CBD=∠DBE。
又∵△ABE≌△FBE,∴∠DBE=∠ABE。
又∵四边形OCBA为矩形,∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。
在Rt△DOE中,∠ODE=60°,∴DE=CD=2OD。
∵OC=OD+CD=6,∴OD+2OD=6,∴OD=2,D(0,2)。∴CD=4。
在Rt△CDB中,BC=CD•tan60°=4,∴B(4,6)。
设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意得:,解得
∴直线BD的解析式为:
(2)在Rt△FGE中,∠FEG=60°,FE=AE.
由(1)易得:OE=2,∴FE=AE=2
∴FG=3,GE=。∴OG=
∵H是FG的中点,∴H()。
∵抛物线经过B、H、D三点,
,解得
∴抛物线解析式为
(3)存在。
∵P在抛物线上,∴设P(x,),M(x,),N(x,6)。
∵SBNM=SBPM,∴PM=MN.即:
整理得:,解得:x=2或x=4
当x=2时,
当x=4时,,与点B重合,不符合题意,舍去。
∴P(2,2)。
∴存在点P,使SBNM=SBPM,点P的坐标为(2,2)。

试题分析:(1)首先由折叠性质得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°,然后解直角三角形得到点D、点B的坐标,最后用待定系数法求出直线BD的解析式;
(2)点B、D坐标已经求出,关键是求出点H的坐标.在Rt△FGE中,解直角三角形求出点H的坐标,再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(3)由SBNM=SBPM,且这两个三角形等高,所以得到PM=MN.由此结论,列出方程求出点P的坐标。
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k为常数)与抛物线交于A,B两点,且A点在y轴左侧,P点的坐标为(0,﹣4),连接PA,PB.有以下说法:
①PO2=PA•PB;
②当k>0时,(PA+AO)(PB﹣BO)的值随k的增大而增大;
③当时,BP2=BO•BA;
④△PAB面积的最小值为
其中正确的是     (写出所有正确说法的序号)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O为原点,OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动,点O在线段OC上由C向点O运动,QD⊥OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点E′是E关于y轴的对称点,点Q运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?
(3)点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB∥OD?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,已知M1(3,2),N1(5,﹣1),线段M1N1平移至线段MN处(注:M1与M,N1与N分别为对应点).

(1)若M(﹣2,5),请直接写出N点坐标.
(2)在(1)问的条件下,点N在抛物线上,求该抛物线对应的函数解析式.
(3)在(2)问条件下,若抛物线顶点为B,与y轴交于点A,点E为线段AB中点,点C(0,m)是y轴负半轴上一动点,线段EC与线段BO相交于F,且OC:OF=2:,求m的值.
(4)在(3)问条件下,动点P从B点出发,沿x轴正方向匀速运动,点P运动到什么位置时(即BP长为多少),将△ABP沿边PE折叠,△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的,求此时BP的长度.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求菱形ABCD的周长;
(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;
(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线y=x与抛物线交于A、B两点.

(1)求交点A、B的坐标;
(2)记一次函数y=x的函数值为y1,二次函数的函数值为y2.若y1>y2,求x的取值范围;
(3)在该抛物线上存在几个点,使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

已知两点均在抛物线上,点是该抛物线的顶点,若,则的取值范围是【   】
A.B.C.D.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得,所以A、B两点间的距离公式为
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:

如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是
A.a<0,b<0,c>0,b2﹣4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2﹣4ac<0
C.a<0,b>0,c<0,b2﹣4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2﹣4ac>0

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