Question

13．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC、∠ACB．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OAC+∠OCA，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
（2）在AC上截取AF=AE，利用“边角边”证明△AOE和△AOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOF=∠AOE，再求出∠COF=60°，然后得到∠COD=∠COF，再利用“角边角”证明△COD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=CD，然后根据AC=AF+CF等量代换即可得证．

解答 （1）解：∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD，CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
在△AOC中，∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-60°=120°；

（2）证明：如图，在AC上截取AF=AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOE=180°-120°=60°，
∴∠AOF=∠AOE=60°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°，
又∵∠COD=∠AOE=60°（对顶角相等），
∴∠COD=∠COF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
在△COD和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCE}\\{CO=CO}\\{∠COD=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AE+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，（1）要注意整体思想的利用，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．