Question

问：你能比较两个数2008²⁰⁰⁹和2009²⁰⁰⁸的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小（n为正整数），从分析n=1，n=2，n=3…的情形入手，通过归纳，发现规律，猜想出结论．
（1）比较各组数的大小①1²和2¹；②2³和3²；③3⁴和4³；④4⁵和5⁴
（2）由（1）猜想出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小关系是

 

；
（3）由（2）可知：2008²⁰⁰⁹

 

 2009²⁰⁰⁸．

Answer 1

考点：实数大小比较

专题：规律型

分析：（1）利用乘方的定义分别计算出各组数，然后比较大小；
（2）利用（1）的计算结果，分类讨论；
（3）利用（2）的结果求解．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；
④4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴；
（2）当n≤3的正整数时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞3的正整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
（3）2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
故答案为当n≤3的正整数时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；当n＞3的正整数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；＞．

点评：本题考查了实数的大小比较：任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．