Question

22、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n	2	3	4	5	…
a	22-1	32-1	42-1	52-1	…
b	4	6	8	10	…
c	22+1	32+1	42+1	52+1	…

（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示：a=n ²-1，b=2n，c=n ²+1．
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n ²，加减1，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式计算出a ²+b ²的值，以及c ²的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．

解答：解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2²-1，b=4，c=2²+1，
n=3时，a=3²-1，b=2×3，c=3²+1，
n=4时，a=4²-1，b=2×4，c=4²+1，
…
∴a=n ²-1，b=2n，c=n ²+1．

（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a ²+b ²=（n ²-1）+4n ²=n ⁴+2n ²+1，
c ²=（n ²+1） ²=n ⁴+2n ²+1，
∴a ²+b ²=c ²，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

点评：此题主要考查了勾股定理逆定理与数字的变化规律等知识，利用图表之间的变化得出a、b、c与n之间的关系是解决问题的关键．