【题目】已知,为等边三角形,,为上一动点,以为边,如图所示作等边三角形,交于点,连接.
(1)求证:;
(2)若长为,长为,试求出与的函数关系.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAE,根据相似三角形的性质即可得到结论.
(1)证明:∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE;
(2)∵△ABD≌△ACE,
∴∠BAD=∠CAE,
∵∠AED=∠ACB=60°,∠AFE=∠CFD,
∴∠CDF=∠CAE,
∴∠CDF=∠DAB,
∵∠B=∠DCF=60°,
∴△ABD∽△CDF,
∴ ,即,
∴y=-x2+x.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4),B(2,m)两点,点B到抛物线对称轴的距离记为d,满足0<d≤1,则实数m的取值范围是( )
A. m≤2或m≥3 B. m≤3或m≥4 C. 2<m<3 D. 3<m<4
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【题目】如图①,先把一矩形ABCD纸片上下对折,设折痕为MN;如图②,再把点B叠在折痕线MN上,得到Rt△ABE.过B点作PQ⊥MN,分别交EC、AD于点P、Q.
(1)求证:△PBE∽△QAB;
(2)在图②中,如果沿直线EB再次折叠纸片,点A能否叠在直线EC上?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若AB=3,求AE的长度.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)设方程两根为x1,x2是否存在实数a,使?若存在求出实数a,若不存在,请说明理由.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地;乙车匀速前往A地,设甲、乙两车距A地的路程为y(千米),甲车行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间;
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=20,BC=15.动点P从A开始,以每秒2个单位长的速度沿AB方向向终点B运动,过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为E、F.
(1)求AB与CD的长;
(2)当矩形PECF的面积最大时,求点P运动的时间t;
(3)以点C为圆心,r为半径画圆,若圆C与斜边AB有且只有一个公共点时,求r的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,已知∠ABC=120°,AC=4,
(1)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求∠AOC的度数;
(3)求⊙O的半径.
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