Question

【题目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点P在是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接PC，将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，连接AD，BP．

（1）观察猜想

当点P在直线AC上时，如图1，线段BP与AD的数量关系是　 　，直线BP与直线AD的位置关系是　 　；

（2）拓展探究

当点P不在直线AC上时，（1）中的数量关系和位置关系还成立吗？并就图2的情形说明理由；

（3）解决问题

若点M，N分别是AB和AC的中点，点P在直线MN上，请直接写出点A，P，D在同一条直线上时的值．

Answer 1

【答案】（1）BP＝AD，BP⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）或

【解析】

（1）观察猜想,如图1，延长BP交AD于H，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由余角的性质可证BP⊥AD；

（2）拓展探究,如图2，延长BP交AD于H，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，∠CAD=∠CBP，由三角形内角和定理可证BP⊥AD；

（3）解决问题,分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACD≌△BCP，可得BP=AD，由线段垂直平分线的性质可得AP=PC，即可求解．

解：（1）观察猜想

如图1，延长BP交AD于H，

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°，

∴∠ACB＝∠PCD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，

∵∠CAD+∠D＝90°，

∴∠CBP+∠D＝90°，

∴∠BHD＝90°，

∴BP⊥AD，

故答案为：BP＝AD，BP⊥AD；

（2）拓展探究

仍然成立，

理由如下：如图2，延长BP交AD于H，

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴BP＝AD，∠CAD＝∠CBP，

∵∠CBP+∠ABP+∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠ABP+∠BAC＝90°，

∴∠AHB＝90°，

∴BP⊥AD；

（3）解决问题

当点A在线段PD上时，如图3，连接BP，

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴PB＝AD，

∵点M，N分别是AB和AC的中点，

∴MN∥BC，

∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，

∴PN是AC的中垂线，

∴AP＝PC，

∵PC＝CD，∠PCD＝90°

∴PD＝PC，

∴AD＝PD﹣AP＝PC﹣PC＝BP，

∴；

当点P在线段AD上时，如图4，连接BP，

∵将线段PC绕点C顺时针旋转90°得到线段DC，

∴PC＝CD，∠PCD＝90°＝∠ACB，

∴∠BCP＝∠ACD＝90°，且AC＝BC，PC＝CD，

∴△ACD≌△BCP（SAS）

∴PB＝AD，

∵点M，N分别是AB和AC的中点，

∴MN∥BC，

∴∠ANM＝∠ACB＝90°，且AN＝CN，

∴PN是AC的中垂线，

∴AP＝PC，

∵PC＝CD，∠PCD＝90°

∴PD＝PC，

∴AD＝PD+AP＝PC+PC＝BP，

∴．