Question

如图，AB经过⊙O的圆心，弦DF⊥AB于E，BF切⊙O于F，⊙O的半径为2．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若∠ABD=∠DFC，求DF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，OF．
∵BF切⊙O于点F，
∴∠OFB=90°，
∵弦DF⊥AB于E，且AB经过圆心O，
∴DE=EF，
∴BD=BF．
∴∠1=∠BFD．
∵OD=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠ODB=∠OFB=90°，
∴BD与⊙O相切；

（2）解：由（1）可知∠3=∠5，
∵∠2=∠5，
∴∠2=∠3．
又∵∠6=2∠2，
∴∠6=2∠3．
∵∠6+∠3=90°，
∴3∠3=90°．
∴∠3=30°，
∵OD=2，
∴DE=，
∴DF=2．
分析：（1）连接OD，OF，根据BF切⊙O于点F，得出∠OFB=90°，再根据弦DF⊥AB于E，且AB经过圆心O，得出∠1=∠BFD，最后根据OD=OF，∠3=∠4，得出∠ODB=∠OFB=90°即可；
（2）根据（1）得∠3=∠5，根据∠2=∠5，得出∠2=∠3，再根据∠6=2∠2，得出∠6=2∠3，再根据∠6+∠3=90°，求出∠3的度数，最后根据⊙O的半径为2，即可求出DF的长．
点评：此题考查了切线的判定与性质，用到的知识点是垂径定理，圆心角与圆周角之间的关系，圆的有关性质等，解题的关键是证出∠ODB=∠OFB=90°，难度适中．