Question

10．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．
（1）求证：DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若tanC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，DE=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABD和BCD，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE=DE，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE=CE；
（2）在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的概念以及勾股定理计算它的三边．再根据相似三角形的判定和性质进行计算．

解答 （1）证明：连接BD，
∵AB是直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠BDC=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=BE（切线长定理）．
∴∠EBD=∠EDB．
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠DCE=∠CDE，
∴DE=CE．
故DE=$\frac{1}{2}$BC．

（2）解：由（1）知，BC=2DE=6，
在Rt△ABC中，AB=BCtanC=6×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=3$\sqrt{5}$，
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=9．
∵∠ADB=∠ABC=90°，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AD}{3\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{9}$．
解得：AD=5．

点评 本题考查了切线的性质及相似三角形的应用等相关知识，注意数形结合思想的应用是解题关键．