Question

(1)△ABC的高AD、BE相交于点H，AD的延长线交其外接圆于点G(如图)．试说明为什么△BDH≌△BDG．

(2)在(1)的条件下，若AB＝AC(如图)，试判断四边形BGCH的形状，并说明理由．

(3)如果△ABC的高AD、BE所在直线相交于圆外的点H时(如图)，仍然设AB＝AC，那么(2)中的结论仍然成立吗？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)由已知条件知：∠CAD、∠CBE都是∠ACB的余角．∴∠CAD＝∠CBE． 　　∵∠CAD＝∠CBG．∴∠CBE＝∠CBG． 　　∵BD＝BD，∠BDH＝∠BDG＝∴△BHD≌△BDG． 　　(2)四边形BGCH是菱形．理由如下： 　　证法1：由(1)得△BHD≌△BDG，∴DG＝DH． 　　∴BC垂直平分HG．∴BH＝BG，CH＝CG． 　　∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC．∴BH＝CH． 　　∴BH＝CH＝CG＝BG．∴四边形BGCH是菱形． 　　证法2：由(1)知△BDH≌△BDG．∴DH＝DG． 　　又AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC． 　　即　　BC与HG互相垂直平分，∴四边形BGCH是菱形． 　　(3)仍是菱形．理由如下： 　　证法1：∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴AD垂直平分BC．∴BH＝HC，BG＝CG． 　　∵∠BHD，∠BCA都与∠HBC互余，∴∠BHD＝∠BCA． 　　又∠BGA＝∠BCA．∴∠BHD＝∠BGA． 　　∴BH＝BG．∴BH＝BG＝CG＝HC． 　　即　　四边形BGCH是菱形． 　　证法2：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠BCE＝∠ABC＝∠AGC． 　　∵∠BHD、∠BCE都与∠HBC互余， 　　∴∠BHD＝∠BCE＝∠AGC． 　　又∠BDH＝∠CDG．∴△BDH≌△CDG．∴HD＝GD．∴四边形BGCH是菱形． 　　[剖析]本题以圆内接三角形为载体，综合考查了圆周角的性质、垂径定理、全等三角形、菱形、同角的余角等知识点．要求我们有较强的分析、探索能力及识图能力和发散思维能力．