Question

4．已知函数y=-（x-m）²+n．
（1）若它的图象经过A（3，0），B（2，3）．
①试求m、n的值；
②记图象与y轴的交点为C，顶点为M，求tan∠CMA的值．
（2）若它的图象与x轴两交点以及顶点所围成的三角形中有一个角为120°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）①将点A、B的坐标代入函数解析式，求出m、n的值；
②求出AC、MC、AM的长度根据勾股定理可得△AMC为直角三角形，然后求出tan∠CMA的值；
（2）分别求出两交点和顶点的坐标，由两交点以及顶点所围成的三角形中有一个角为120°，可得顶角为120°，然后根据三角函数的知识求解．

解答 解：（1）①将点A、B的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-（3-m）^{2}+n=0}\\{-（2-m）^{2}+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=4}\end{array}\right.$；
②由①得，函数解析式为：y=-（x-1）²+4，
令x=0得，y=3，
∴点C坐标为（0，3），
∴CM=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{（3-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
AM=$\sqrt{（3-1）^{2}+（0-4）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵CM²+AC²=AM²=20，
∴△ACM为直角三角形，
∴tan∠CMA=$\frac{AC}{CM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3；
（2）设顶点为C，两交点为A、B，作CD⊥AB于点D，如右图所示，
要使两交点以及顶点所围成的三角形中有一个角为120°，
这个角为∠ACB，
∵解析式为y=-（x-m）²+n，
∴C（m，n），A（m-$\sqrt{n}$，0），B（m+$\sqrt{n}$，0），
∵∠ACB=120°，CD⊥AB，
∴tan∠ACD=tan60°=$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{3}$，
即$\frac{\sqrt{n}}{n}$=$\sqrt{3}$，
解得：n=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法确定函数关系式、勾股定理的应用、直角三角形的判定、三角函数等知识，知识点较多，综合性较强，注意运用数形结合的方法求解．