Question

【题目】如图，双曲线y＝与直线y＝x交于A、B两点，点P（a，b）在双曲线y＝上，且0＜a＜4．

（1）设PB交x轴于点E，若a＝1，求点E的坐标；

（2）连接PA、PB，得到△ABP，若4a＝b，求△ABP的面积．

Answer 1

【答案】（1）点E的坐标为（﹣3，0）；（2）15．

【解析】

（1）解方程组得A（4，1），B（﹣4，﹣1），再利用反比例函数解析式确定P（1，4），则可根据待定系数法求出直线PB的解析式为y＝x+3，从而计算出函数值为0对应的函数值得到点E的坐标；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ab＝4，加上b＝4a，则可求出a、b得到P（1，4），连接OP，如图，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），接着利用三角形面积公式计算出S△POB＝，由于点A与点B关于原点对称，所以OA＝OB，所以S△BAP＝2S△OBP．

解：（1）解方程组

得或，

∴A（4，1），B（﹣4，﹣1），

当x＝1时，y＝＝4，则P（1，4），

设直线PB的解析式为y＝mx+n，

把P（1，4），B（﹣4，﹣1）代入得，

解得，

∴直线PB的解析式为y＝x+3，

当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，

∴点E的坐标为（﹣3，0）；

（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝上，

∴ab＝4，

而b＝4a，

∴a4a＝4，解得a＝±1，

∵0＜a＜4．

∴a＝1，

∴P（1，4），

连接OP，如图，由（1）得此时E点坐标为（﹣3，0），

S△POB＝S△OBE+S△OEP＝×3×1+×3×4＝，

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA＝OB，

∴S△OAP＝S△OBP＝，

∴S△BAP＝2S△OBP＝15．