Question

【题目】如图，有一时钟，时针OA长为6cm，分针OB长为8cm，△OAB随着时间的变化不停地改变形状．求：

（1）如图①，13点时，△OAB的面积是多少？

（2）如图②，14点时，△OAB的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？

（3）问多少整点时，△OAB的面积最大？最大面积是多少？请说明理由．

（4）设∠BOA＝α（0°≤α≤180°），试归纳α变化时△OAB的面积有何变化规律（不证明）

Answer 1

【答案】（1）12cm2；（2）14点时比13点时△OAB的面积增大了，见解析；（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，24 cm2，见解析；（4）当α＝0°、180°时不构成三角形；当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小

【解析】

（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．在13点时，∠BOA＝30°，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）如图②，过点B作BE⊥OA于点E．在14点时，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．根据三角形的面积公式即可得到结论；

（4）当α＝0°、180°时不构成三角形；当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小．

解：（1）如图①，过点B作BE⊥OA于点E．

在13点时，∠BOA＝30°，

∴BE＝OB＝4（cm），

∴S△OAB＝OABE＝×6×4＝12（cm2）；

（2）如图②，过点B作BE⊥OA于点E．

在14点时，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），

∴S△OAB＝×4×6＝12（cm2）．

∵12＞12，

∴14点时比13点时△OAB的面积增大了；（3）3点时（即15时）或9点时（即21时）时△OAB的面积最大，如图③④．

∵此时BE最长，BE＝OB＝8 cm，而OA不变，

∴S＝OAOB＝×6×8＝24（cm2）；

（4）当α＝0°、180°时不构成三角形；

①当0°＜α≤90°时，α越大，OA不变，OA边上的高越来越大，

∴S△OAB的值随α增大而增大；

②当90°＜α＜180°时，OA不变，但OA边上的高越来越小，

∴S△OAB的值随α增大而减小．

综上所述，当0°＜α≤90°时，S△OAB的值随α增大而增大；当90°＜α＜180°时，S△OAB的值随α增大而减小．