Question

?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=10cm，AC=14cm．点E从点A出发沿AC向点C运动，点F从点C出发沿CA向点A运动，且两点都以1cm每秒的相同速度同时出发．设运动时间为t秒．
（1）当点E、F不与点O重合时，试证明四边形DEBF为平行四边形？
（2）在运动的过程中，∠EDF有可能为直角吗？若有可能，请直接写出t值；若没有可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：AE=CF=tcm．
①如图①，当点E、F分别在OA、OC上时．
∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
∴OE=OA-AE，OF=OC-CF，
∴OE=OF．
如图②，当点E、F分别在OC、OA上时．
∵OE=AE-OA，OF=CF-OC，
∴OE=OF．
∵OE=OF，OB=OD，
∴四边形DEBF为平行四边形．

（2）当t=2或t=12时，∠EDF为直角．
理由：由（1）知 OE=OF、OB=OD，要使∠EDF是直角，只需OE=OF=OD=BD=5cm．
则∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此时AE=CF=（AC-EF）=（14-10）=2cm或AE=CF=14-2=12cm
所以t=2或t=12．
分析：（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证得四边形DEBF为平行四边形；
（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得OE=OF=OD=BD=5cm．然后由平行四边形DEBF的对角线的性质来求AE=CF的值．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的对角线互相平分．