Question

【题目】若表示一个关于的多项式，除以整式，所得的商式和余式均为同一个多项式中的系数均为整数，则余式_____________．

Answer 1

【答案】x+1

【解析】

由题意得，f(x)=g(x)h(x)+h(x)=h(x)[g(x)+1]，又因为=(x+1)(x2+x+2) ，这两个式子比较讨论即可得到答案.

解：由题意得，f(x)=g(x)h(x)+h(x)=h(x)[g(x)+1] ①

又∵=(x+1)(x2+x+2) ②

比较①、②可知，有下述两种情况：

（1）h(x)=x+1,g(x)+1=x2+x+2,即h(x)=x+1,g(x)=x2+x+1；

（2）h(x)= x2+x+2，g(x)+1=x+1,即h(x)= x2+x+2，g(x)=x，这里余式h(x)的次数大于除式g(x)的次数，故不合题意，

∴只有（1）成立，

故答案为x+1.