Question

【题目】如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E．

（1）证明：直线PD是⊙O的切线；

（2）如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；

（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）见解析

【解析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，再利用角度的相互转换求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）求出∠P=30°，解直角三角形求出OD，结合勾股定理可得出PO，最后根据PA=PO-AO可得出结果；
（3）根据折叠和已知求出∠P=∠PBF，根据平行线的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED=EB，根据菱形的判定推出即可．

（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线．

（2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，∴∠P=30°，

∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，

∴，解得OD=1，

∴，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1．

（3）证明：如图2中，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠APD=∠AFD，

∵∠PDA=∠PBD，∠ADF=∠ABF，∠AFD=∠PBD，
∴∠ADF=∠AFD=∠APD=∠ABF，
∴AD=AF，BF∥PD，即BF∥DE．
又∠DAB+∠DBA=90°，∴∠DAB+∠ADF=90°，

∴DF⊥PB．
∵BE为切线，
∴BE⊥PB，
∴DF∥BE，
∴四边形DFBE为平行四边形，
∵PE、BE为切线，
∴BE=DE，
∴四边形DFBE为菱形．