【题目】如图1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证:AE=BC;
(2)如图(2),过点E作EF∥BC交AB于F,将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°<α<144°)得到△AE′F′,连结CE′,BF′,求证:CE′=BF′;
(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB?若存在,求出相应的旋转角α;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)存在CE′∥AB,当旋转角为36°或72°时,CE′∥AB.
【解析】
试题分析:(1)根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案;(2)由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,根据全等三角形证明方法得出即可;(3)分别根据①当点E的像E′与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,②当点E的像E′与点N重合时,求出α即可.
试题解析:(1)证明:∵AB=BC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=36°,
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°,
∴∠ABE=∠A,∠BEC=∠C,
∴AE=BE,BE=BC,
∴AE=BC.
(2)证明:∵AC=AB且EF∥BC,
∴AE=AF;
由旋转的性质可知:∠E′AC=∠F′AB,AE′=AF′,
∵在△CAE′和△BAF′中
,
∴△CAE′≌△BAF′,
∴CE′=BF′.
(3)存在CE′∥AB,
理由:由(1)可知AE=BC,所以,在△AEF绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点,
如图:①当点E的像E′与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,
∴∠BAM=∠ABC=72°,又∠BAC=36°,
∴α=∠CAM=36°.
②当点E的像E′与点N重合时,
由AB∥l得,∠AMN=∠BAM=72°,
∵AM=AN,
∴∠ANM=∠AMN=72°,
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°,
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°.
所以,当旋转角为36°或72°时,CE′∥AB.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(-1,3)与点B关于x轴对称,则点B的坐标是( )
A. (-1,-3) B. (-1,3) C. (1,3) D. (1,-3)
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【题目】我国质检总局规定,针织内衣等直接接触皮肤的制品,每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下.将0.000075用科学记数法表示为( )
A.7.5×105
B.7.5×10﹣5
C.0.75×10﹣4
D.75×10﹣6
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为△ABC内一点, ∠BAD=15°,AD=AC,CE⊥AD于E,且CE=5.
(1)求BC的长;
(2)求证:BD=CD.
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【题目】某单位A,B,C,D四人随机分成两组赴北京,上海学习,每组两人.
(1)求A去北京的概率;
(2)用列表法(或树状图法)求A,B都去北京的概率;
(3)求A,B分在同一组的概率.
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【题目】小红设计了如图所示的一个计算程序:
根据这个程序解答下列问题:
(1)若小刚输入的数为﹣4,则输出结果为 ,
(2)若小红的输出结果为123,则她输入的数为 ,
(3)这个计算程序可列出算式为 , 计算结果为 .
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