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(2007•资阳)如图,已知抛物线P:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下:
x-3-212
y-4
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点D的坐标为(m,0),矩形DEFG的面积为S,求S与m的函数关系,并指出m的取值范围;
(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,连接DF并延长至点M,使FM=k•DF,若点M不在抛物线P上,求k的取值范围.

【答案】分析:(1)根据图表可以得到,抛物线经过的四点的坐标,根据待定系数法,设y=ax2+bx+c把其中三点的坐标,就可以解得函数的解析式.进而就可以求出A、B、C的坐标.
(2)易证△ADG∽△AOC,AD=2-m,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以用m表示出DG的长,再根据△BEF∽△BOC,就可以表示出BE,就可以得到OE,因而ED就可以表示出来.因而S与m的函数关系就可以得到.
(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时,就是函数的值是最大值时,根据二次函数的性质就可以求出相应的m的值.则矩形的四个顶点的坐标就可以求出,根据待定系数法就可以求出直线DF的解析式.就可以求出直线DF与抛物线的交点的坐标,根据FM=k•DF,就可以表示出M的坐标,把M的坐标代入函数就可以得到一个关于k的方程,求出k的值,判断是否满足函数的解析式.
解答:解:(1)解法一:设y=ax2+bx+c(a≠0),
任取x,y的三组值代入,求出解析式y=x2+x-4,
令y=0,求出x1=-4,x2=2;
令x=0,得y=-4,
∴A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).
解法二:由抛物线P过点(1,-),(-3,-)可知,
抛物线P的对称轴方程为x=-1,
又∵抛物线P过(2,0)、(-2,-4),
∴由抛物线的对称性可知,
点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4).

(2)由题意,=,而AO=2,OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m,
=,EF=DG,得BE=4-2m,
∴DE=3m,
∴SDEFG=DG•DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0<m<2).

(3)∵SDEFG=12m-6m2(0<m<2),
∴m=1时,矩形的面积最大,且最大面积是6.
当矩形面积最大时,其顶点为D(1,0),G(1,-2),F(-2,-2),E(-2,0),
设直线DF的解析式为y=kx+b,易知,k=,b=-
∴y=x-
又可求得抛物线P的解析式为:y=x2+x-4,
x-=x2+x-4,可求出x=
设射线DF与抛物线P相交于点N,则N的横坐标为,过N作x轴的垂线交x轴于H,
===
点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是
k≠且k>0.
点评:本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,并且本题还考查了函数交点坐标的求法.就是求函数的解析式组成的方程组.
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mx
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