Question

2．如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE=CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足为H．
（1）如图a，当∠ACB=90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F．
①求证：FA=DE；
②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；
（2）如图b，当∠ACB=120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）①根据ASA证明△AFC≌△EDC，可得结论；
②结论是：DE+AD=2CH，根据CH是等腰直角△FCD斜边上的中线得：FD=2CH，再进行等量代换可得结论；
（2）如图b，根据（1）作辅助线，构建全等三角形，证明△FAC≌△DEC得AF=DE，FC=CD，得等腰△FDC，由三线合一的性质得CH，是底边中线和顶角平分线，得直角△CHD，利用三角函数得出HD与CH的关系，从而得出结论．

解答 证明：（1）①∵CF⊥CD，
∴∠FCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
∴∠FCA=∠DCE，
∵∠FAC=90°+∠B，∠CED=90°+∠B，
∴∠FAC=∠CED，
∵AC=CE，
∴△AFC≌△EDC，
∴FA=DE，
②DE+AD=2CH，理由是：
∵△AFC≌△EDC，
∴CF=CD，
∵CH⊥AB，
∴FH=HD，
在Rt△FCD中，CH是斜边FD的中线，
∴FD=2DH，
∴AF+AD=2CH，
∴DE+AD=2CH；
（2）AD+DE=2$\sqrt{3}$CH，理由是：
如图b，作∠FCD=∠ACB，交BA延长线于F，
∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB，
∴∠FCA=∠DCB，
∵∠EDA=60°，
∴∠EDB=120°，
∵∠FAC=120°+∠B，∠CED=120°+∠B，
∴∠FAC=∠CED，
∵AC=CE，
∴△FAC≌△DEC，
∴AF=DE，FC=CD，
∵CH⊥FD，
∴FH=HD，∠FCH=∠HCD=60°，
在Rt△CHD中，tan60°=$\frac{DH}{CH}$，
∴DH=$\sqrt{3}$CH，
∵AD+DE=AD+AF=FD=2DH=2$\sqrt{3}$CH，
即：AD+DE=2$\sqrt{3}$CH．

点评 本题是三角形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰三角形三线合一、直角三角形的性质，本题从第一问中三条线段的数量关系，引申到第二问中非垂直关系的数量关系，运用了相同的方法，构建全等三角形，将线段转化到同一条直线上或同一三角形中确定其数量关系，都运用了等腰三角形三线合一的性质．