Question

10．如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．
（1）求证：BD=CE；
（2）若∠ADB=90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．
①如图2，求证：点F是BC中点．
②如图3，若DA=DB，BF=2，直接写出AG的长为6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，进而得出∠DAB=∠CAE，即可判断出，△ADB≌△AEC即可；
（2）①同（1）的方法得出△ADB≌△AEC，则有BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，再构造出△BDF≌△CEH即可得出结论；
②先根据三角形的内角和得出∠BFD=45°，再构造出特殊的直角三角形，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，
（2）①如图2，

同（1）的方法得出，△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BDF=30°=∠CEH，
延长DF，在DF的延长线上取一点H，使CH=CF，
∴∠H=∠CFH，
∵∠CFH=∠BFD，
∴∠BFD=∠H，
在△BDF和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠H}\\{∠BDF=∠CEH}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CEH，
∴BF=CH，
∵CH=CF，
∴BF=CF，
∴点F是BC中点．
②如图3，

∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠ABD=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由①知，∠BDF=30°，
根据三角形的内角和，得，∠BFD=45°，
过点E作EM⊥BF，
设BM=x，在Rt△BGM中，∠ABF=60°，
∴BG=2BM=2x，EM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△EMF中，∠BFD=45°，
∴FM=EM=$\sqrt{3}$x，
∵BF=2，
∴BM+FM=2，
∴x+$\sqrt{3}$x=2，∴x=$\sqrt{3}$-1，
∴BG=2x=2（$\sqrt{3}$-1），
由①知，BF=CF，
∴BC=2BF=4，
∴AB=4，
∴AG=AB-BE=4-2（$\sqrt{3}$-1）=6-2$\sqrt{3}$．
故答案为：6-2$\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和解直角三角形，解本题的关键是△ADB≌△AEC，构造出△BDF≌△CEH也是解本题的关键，也是难点．