Question

为了顺应市场要求，无为县花炮厂技术部研制开发一种新产品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该厂年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末花炮厂累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

Answer 1

分析：（1）由已知图象上的三点坐标，设二次函数解析式为s=at²+bt+c，列方程组，求解析式；
（2）求二次函数最大值，可以用公式法或者配方法；
（3）第8个月公司所获利润=第8个月公司累积利润-第7个月公司累积利润．

解答：解：（1）设二次函数解析式为s=at²+bt+c
∵图象经过（0，0），（4，0），（2，-2）
由题意，得

0=c 0=16a+4b+c -2=4a+2b+c

解得

a= 1 2 b=-2 c=0

∴s=

1

2

t²-2t（t≥0）（本题也可以选择其它三点坐标解题）；

（2）当s=30时，30=

1

2

t²-2t
解得t₁=-6（不合题意，舍去），t₂=10
∴截止到10月末花炮厂累积利润达30万元；

（3）当t=8时，s₁=

1

2

×8²-2×8=16（万元）
当t=7时，s₂=

1

2

×7²-2×7=10.5（万元）
∴第8个月公司利润为s₁-s₂=16-10.5=5.5（万元）．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．