Question

16．如图，⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于E，CD=6cm，求AE的长．（先补全图形）
解：分两种情况讨论：
（1）当E点在OA上时，如图．
（2）当E点在OB上时，如图．

Answer 1

分析 分两种情况讨论，先连接OC，由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到E为CD中点，由CD的长求出EC的长，再由直径的长求出半径OC的长，在直角三角形ECO中，利用勾股定理求出OE的长，由OA，OE的长即可求出EA的长．

解答 解：分两种情况讨论：
（1）当E点在OA上时，如图．

连接OC，
∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵CD=6cm，
∴EC=DE=3cm，
又∵AB=10cm，
∴OC=5cm，
在Rt△ECO中，由勾股定理得：OE²=OC²-CE²，
即OE²=25-9=16，
解得：OE=4cm，
∴EA=OA-OE=5-4=1cm．

（2）当E点在OB上时，如图．

连接OC，
∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，
又∵CD=6cm，
∴EC=DE=3cm，
又∵AB=10cm，
∴OC=5cm，
在Rt△ECO中，由勾股定理得：OE²=OC²-CE²，
即OE²=25-9=16，
解得：OE=4cm，
∴EA=OA+OE=5+4=9cm．

点评 本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．解决问题的关键是进行分类讨论．