Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．

（1）求：①m，n的值；②S△ABO的值；

（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．

（3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM+MN的最小值（图1与图2中点A的坐标相同）．

Answer 1

【答案】（1）①m＝﹣6，n＝6，②18；（2）F（0，﹣6）；（3）OM+MN的最小值为3．

【解析】

（1）①利用非负数的性质即可解决问题．

②先确定出OA＝OB＝6，从而求得△ABO的面积．

（2）先判断出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，进而判断出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式．

（3）过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．

（1）①∵（m+n）2+|n﹣6|＝0，

又∵（m+n）2≥0，|n﹣6|≥0．

∴m+n＝0，n＝6，

∴m＝﹣6，n＝6．

②∵直线AB与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于B（0，6）．

∴OA＝6，OB＝6，

∴S△ABO＝OAOB＝×6×6＝18；

（2）如图1，过点E作EM⊥x轴于M，

∴∠MDE+∠DEM＝90°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE＝DB，∠BDE＝90°，

∴∠MDE+∠BDO＝90°，

∴∠DEM＝∠BDO，

在△DEM和△BDO中，

，

∴△DEM≌△BDO（AAS），

∴EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，

∴AM＝DM+AD＝6+AD，

EM＝OD＝OA+AD＝6+AD，

∴EM＝AM，

∴∠MAE＝45°＝∠OAF，

∴OA＝OF，

∴F（0，﹣6）．

（3）如图2中，

过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．

∵∠MAG＝∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，

∴MG＝MN，

∴OM+MN＝OM+MG＝OG，

在Rt△OAG中，∠OAE＝30°，OA＝6，

∴OG＝3，

∴OM+MN的最小值为3．