Question

【题目】问题提出：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1x5或2×3的矩形（axb 的矩形指边长分别为a，b的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当n=5时，可将正方形分割为五个1×5的矩形．

如图②，当n=6时，可将正方形分割为六个2×3的矩形．

如图③，当n=7时，可将正方形分割为五个1×5的矩形和四个2×3的矩形

如图④，当n=8时，可将正方形分割为八个1×5的矩形和四个2×3的矩形

如图⑤，当n=9时，可将正方形分割为九个1×5的矩形和六个2×3的矩形

探究二：

当n=10，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当n=10，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个5×5的正方形、一个（n﹣5 ）×（ n﹣5 ）的正方形和两个5×（n﹣5）的矩形．显然，5×5的正方形和5×（n﹣5）的矩形均可分割为1×5的矩形，而（n﹣5）×（n﹣5）的正方形是边长分别为5，6，7，8，9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．

探究三：

当n=15，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当n=15，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个10×10的正方形、一个（n﹣10 ）×（n﹣10）的正方形和两个10×（n﹣10）的矩形．显然，10×10的正方形和10×（n﹣10）的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n﹣10）×（n﹣10）的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形．

问题解决：如何将边长为n（n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

Answer 1

【答案】探究三：答案见解析；问题解决：答案见解析；实际应用：答案见解析．

【解析】

试题分析：先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题，由此把要解决问题转化为已经解决的问题，即可解决问题．

试题解析：探究三：边长为18，19的正方形分割示意图，如图所示：

问题解决：若5≤n＜10时，如探究一．

若n≥10，设n=5a+b，其中a、b为正整数，5≤b＜10，则图形如图所示，均可将正方形分割为一个5a×5a的正方形、一个b×b的正方形和两个5a×b的矩形．显然，5a×5a的正方形和5a×b的矩形均可分割为1x5的矩形，而b×b的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1×5或2×3的矩形即可．

问题解决：边长为61的正方形分割为一些1×5或2×3的矩形，如图所示：