Question

动手操作：

如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A^′与点______重合，点B′与B′点______重合；
探究发现：
如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是______；
实践与应用：
如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？
拓展联想：
如图④，一颗古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？

Answer 1

【答案】分析：容易得出点A与点A′，B与B′重合；
矩形的对角线即为这条丝线最短的长度，由勾股定理即可得出答案；
连接AA′，根据弧长公式可得出圆心角的度数，由勾股定理可得出AA′；
将大树近似的看作圆柱将其展开，可得出紫藤的最短长度．
解答：解：动手操作：易得点A与点A′，B与B′重合；
探究与发现：圆柱的底面周长是矩形的长，
∵圆柱的底面周长是40，高是30，
∴矩形的对角线为50，
∴这条丝线最短的长度是 50，
实践与应用：
连接AA′，
∵底面周长为π，∴弧长==π，
∴n=120°即∠AOA′=120°，
∴∠A=30°，
作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，
∵OA=4，∴OB=2，
∴AB=2，
∴AA′=4；
拓展联想：
方法一：如图，紫藤的长为：=30米；
方法二：紫藤绕树干的周长为：=，
则8周的周长为：8×=30米，
故答案为A，B，50．
点评：本题考查了圆锥的计算、圆柱的计算以及其实际应用，综合性较强难度偏大．