Question

【题目】如图，在△中，高＝3，∠＝45°，＝，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速速向终点运动，当点与点、不重合时，过点作、的平行线，与分别交于点、，将△绕的中点旋转180°得△，设点的运动时间为秒，△与△重叠部分面积为．

（1）当＝ 秒时，点落在边上．

（2）求与的函数关系式．

（3）当直线将△分为面积比为1:3的两部分时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当0<1≤时，；<t<3时，S=；（3）t=或t=

【解析】

（1）由旋转的性质可得EH=FG=3t，再根据平行线分线段成比例可得，得到方程求解即可；

（2）分0<1≤和<t<3时，结合图形利用三角形面积计算公式即可得出函数关系；

（3）根据“直线将△分为面积比为1:3的两部分”分两种情况由BG：BC=1：2与BG：BC=：2时求出t的值即可．

(1)当点H落在AC边上时，如图1，

∵AD ⊥BC，∠B=45°

∴△ABD为等腰直角三角形，

∵FE// AB，

∴△FED为等腰直角三角形，

∴ED=FD=t，

又∵FG//AC，

∴∠FGD=∠C，

∴tan∠FGD=tan C=

∴DG=2t，

∴EG=3t

又∵△HG由△EFG旋转得到，

FH=EG=3t， 四边形FE GH为平行四边形，

∴FH //BC，

∴

∴，解得，t=,

即当t=秒时，点H落在AC边上．

故答案为：；

(2) ①当0<1≤时， 如图2， 重叠部分图形为A HGF，

图2

∴

②当<t<3时， 如图3，重叠部分图形为四边形MFG N，

，

,

过N作于K，

=

(3)①当BG：BC=1：2时， 如图4，

此时KG为△ABC的中位线，S△BKG：S四边形AKGC=1：3，

∵AD=3，∠ABD=45°，AD⊥BC

∴BD=AD=3，

∵KG//AC，

∴∠C=∠KGB，tanC=，

∴tan∠KGB =，

∴DG=2t，DC=6

∴BC=9，

∴，解得，t=；

②当BG：BC=：2时，如图5，此时S四边形AKGC：S△BKG=1：3，

∴，解得，t=

综上， 当直线FG将△ABC分为面积比为1：3的两部分时，t=或t=．