Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=10，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（-4，4），反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
（1）求直线AC和反比例函数的解析式；
（2）平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？
（3）P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且AQCP是菱形，求P、Q的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线AC过原点，
∴设直线AC的解析式为：y=ax，
∵直线AC过点A（-4，4），
∴-4a=4，
解得：a=-1，
故直线AC的解析式为：y=-x；
∵在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=10，顶点A的坐标为（-4，4），
∴AE=4，DE=AD-AE=10-4=6，
∴点D的坐标为（6，4），
∴4=，
解得：k=24，
故反比例函数的解析式为：y=；

（2）平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上．
∵四边形ABCD是平行四边形，且原点O是对角线AC的中点，
∴B与D关于原点对称，
∴点B的坐标为（-6，-4），
∵当x-6时，y==-4，
∴平行四边形ABCD的顶点B在反比例函数的图象上；

（3）∵四边形AQCP是菱形，
∴AC⊥PQ，
∵直线AC的解析式为y=-x，
∴直线PQ的解析式为：y=x，
设P点的坐标为（a，a）且a＞0，则点Q的坐标为（-a，-a），
∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，
∴a=，
解得：a=2，
故P的坐标为：（2，2），Q的坐标为（-2，-2）．
分析：（1）由顶点A的坐标为（-4，4），直线过原点O，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；又由在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=10，即可求得点D的坐标，继而求得反比例函数的解析式；
（2）由平行四边形的中心对称性，即可求得点B的坐标，即可判定平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上；
（3）由四边形AQCP是菱形，可得AC⊥PQ，即可求得直线PQ的解析式，继而求得P、Q的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行四边形的性质以及菱形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．