Question

已知：抛物线y=ax²+2x+c，对称轴为直线x=-1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A（-3，0）、B两点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）P为抛物线上一点，若以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由对称轴为直线x=-1，与x轴交于A（-3，0）、B两点，求出a的值与B点的坐标，进而求出C点的坐标，再求出直线AC的解析式；
（2）将四边形ABCD面积用同一未知数表示，求出二次函数的最值即可，
（3）以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，作出图形，由三角形相似求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵对称轴x=-

2

2a

=-1
∴a=1∵A（-3，0）∴c=-3
设直线AC的解析式为y=kx+b
∵A（-3，0），C（0，-3），代入得：
直线AC的解析式为y=-x-3

（2）代数方法一：
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N．
设D（x，x²+2x-3），则M（x，-x-3）
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=6+

1

2

×DM×(AN+ON)=6+

3

2

DM
=6+

3

2

[(-x-3)
=-

3

2

x2-

9

2

x+6
=-

3

2

(x+

3

2

)2+

75

8

∴当x=-

3

2

时，四边形ABCD面积有最大值

75

8

．
代数方法二：S_{四边形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC
=

1

2

(x+3)(-x2-2x+3)+

1

2

(-x2-2x+3+3)(-x)+

3

2

=-

3

2

x2-

9

2

x+6=-

3

2

(x+

3

2

)2+

75

8

∴当x=-

3

2

时，四边形ABCD面积有最大值

75

8

．
几何方法：
过点D作AC的平行线l，设直线l的解析式为y=-x+b．
由

y=x2+2x-3 y=-x+b

得：x²+3x-b-3=0
当△=3²-4（-b-3）=0时，直线l与抛物线只有一个公共点
即：当b=-

21

4

时，△ADC的面积最大，四边形ABCD面积最大
此时公共点D的坐标为(-

3

2

，-

15

4

)
S_{四边形ADCB}=S_△ADN+S_梯形NDCO+S_△OBC

= 1 2 AN•DN+ 1 2 (DN+OC)ON+ 1 2 OB•OC = 1 2 OA•DN+ 1 2 OC•ON+ 1 2 OB•OC = 1 2 ×3× 15 4 + 1 2 ×3× 3 2 + 1 2 ×1×3

=

75

8

即：当x=-

3

2

时，四边形ABCD面积有最大值

75

8

．

（3）如图所示，因为A（-3，0），抛物线对称轴为直线x=-1，
由抛物线的轴对称性可求得B（1，0），
∵以线段PB为直径的圆与直线BC切于点B，
∴过点B作BC的垂线交抛物线于一点，则此点必为点P．
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴PB=BC，PE=OB，
∴Rt△PEB∽Rt△BOC
∴

EB

PE

=

OC

BO

，故EB=3PE，
设P（x，x²+2x-3），∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=x²+2x-3，则1-x=3（x²+2x-3），
解得x₁=1（不合题意舍去），x2=-

10

3

，
∴P点的坐标为：(-

10

3

，

13

9

)．

点评：此题主要考查了二次函数的对称性，以及二次函数的最值问题和相似三角形的判定．