【题目】如图,等腰中,是的角平分线,交于点,点为中点,连接,若
求证: 是的切线;
连接,若,求的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接OE,根据平行线的性质和等边对等角证出∠DOF=∠EOF,然后利用SAS即可证出△ODF≌△OEF,从而得出∠ODF=∠OEF,再根据三线合一证出∠ODF=90°,从而得出∠OEF=90°,最后根据切线的判定定理即可证出结论;
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EF=DC=DF,利用等角的锐角三角函数相等求出DC和AC,再利用勾股定理求出直径AD,即可求出结论.
(1)证明:连接OE,
∵OF∥AC,
∴∠DOF=∠OAC,∠EOF=∠OEA,
∵OE=OA,
∴∠OAC=∠OEA,
∴∠DOF=∠EOF,
又∵OD=OE,OF=OF,
∴△ODF≌△OEF,
∴∠ODF=∠OEF,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠ODF=90°,
∴∠OEF=90°,
∴EF⊥OE,
∴EF为⊙O的切线.
(2)∵AD为直径,
∴∠AED=90°,
∴∠DEC=90°,
∵F为DC中点,
∴EF=DC=DF,
∴∠EDF=∠DEF,
∴
∴,
∵CE=1,
∴DC=
∵∠DAC+∠C=90°,∠EDC+∠C=90°,
∴∠DAC=∠EDC,
∴
∴,
∴AC=5,
∴AD=,
∴半径为.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点(点在点左侧),经过点的直线:与轴交于点,与抛物线的另一个交点为,且.
(1)直接写出点的坐标,并用含的式子表示直线的函数表达式(其中、用含的式子表示).
(2)点为直线下方抛物线上一点,当的面积的最大值为时,求抛物线的函数表达式;
(3)设点是抛物线对称轴上的一点,点在抛物线上,以点、、、为顶点的四边形能否为矩形?若能,求出点的坐标;若不能,请说明理由.
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【题目】某校全体学生积极参加献爱心慈善捐款活动,为了解捐款情况,随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计,绘制出两幅不完整的统计图(统计图中每组含最小值,不含最大值).请依据图中信息解答下列问题:
(1)求随机抽取的学生人数;
(2)填空:(直接填答案) ①“20元~25元”部分对应的圆心角度数为 °;
②捐款的中位数落在 .(填金额范围);
(3)若该校共有学生2100人,请估算全校捐款不少于20元的人数.
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【题目】模具厂计划生产面积为4,周长为m的矩形模具.对于m的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为4,得xy=4,即;由周长为m,得2(x+y)=m,即y=-x+.满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数(x>0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线y=-x.
(3)平移直线y=x,观察函数图象
在直线平移过程中,交点个数有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.
(4)得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点、,以为边在轴下方作正方形,点是线段与正方形的外接圆的交点,连接与相交于点.
(1)求证:;
(2)若,试求经过、、三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象,若直线向上平移t个单位与新图象有两个公共点,试求t的取值范围.
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【题目】某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查,要求每名学生必选且只能选一项.现随机抽查了部分学生,并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图.
抽取的学生最喜欢体育活动的条形统计图
抽取的学生最喜欢体育活动的扇形统计图
请结合以上信息解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽查了_____学生,扇形统计图中“乒乓球”所对应的圆心角为_____度,并请补全条形统计图;
(2)己知该校共有1200名学生,请你估计该校最喜爱跑步的学生人数;
(3)若在“排球、足球、跑步、乒乓球”四个活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“排球、乒乓球”这两项活动的概率.
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【题目】某校在开展 “校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.
(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果至少购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?
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