Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD＝6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α＝0°时，＝　 　；

②当α＝90°时，＝　 　．

（2）拓展探究

请你猜想当△CDE在旋转的过程中，是否发生变化？根据图2证明你的猜想．

（3）问题解决

在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD＝2时，BE＝　 　，此时α＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）①;②;（2）猜想：的值不变,理由见解析;（3），60°或300°．

【解析】

（1）①利用勾股定理求出BC，再利用平行线分线段成比例定理求出EC即可解决问题．

②正确画出图形，求出AD，BE即可解决问题．

（2）猜想：的值不变．利用相似三角形的性质即可解决问题．

（3）分两种情形：当AD在AC阿德右侧，当AD在AC的左侧，分别求解即可．

解：（1）①如图1中，当α＝0时，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，

∴BC＝＝6，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴CE＝，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴＝＝＝．

②如图1﹣1中，当α＝90°时，易知AD＝AB＝10，BE＝＝＝．

∴＝＝．

故答案为，．

（2）猜想：的值不变．

理由：如图2中，

∵旋转过程中，△DCE∽△ACB，

∴∠ACB＝∠DCE，＝，

∴＝，∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝＝．

（3）如图3﹣1中，作DH⊥AC于H．设CH＝x．

∵DH2＝AD2﹣AH2＝CD2﹣CH2，

∴52﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，

解得x＝6，

∴cos∠HCD＝＝，

∴∠ACD＝60°，

∵＝，AD＝2，

∴BE＝，此时α＝60°．

如图3﹣2中，同法可得：∠DCH＝60°，BE＝，此时α＝300°．

故答案为：，60°或300°．