Question

若函数y=

kx+5

kx2+4kx+3

中自变量的取值范围是一切实数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数自变量的取值范围

专题：

分析：因为函数y=

kx+5

kx2+4kx+3

中自变量的取值范围是一切实数，可得y=kx²+4kx+3≠0．分k=0与k＞0与k＜0三种情况讨论，即可求解．

解答：解：（1）若k=0，y=

5

3

是常量函数，与x无关，故k=0符合已知条件．
（2）若k≠0．
①当k＞0时，由kx²+4kx+3=k（x+2）²+3-4k，
∵k（x+2）²≥0，
∴需要3-4k＞0，即k＜

3

4

．
故0＜k＜

3

4

．
②当k＜0时，有k（x+2）²≤0，需要3-4k＜0，即k＞

3

4

．
与k＜0矛盾，说明此种情况不可能成立．
故实数k的取值范围是 0≤k＜ 

3

4

．
故答案为：．

点评：考查了函数自变量的取值范围，解决此类题目的关键是先讨论kx²+4kx+3是一次还是二次，在利用函数独有的性质进行解题，而对于二次函数恒成立问题解决的关键是注意开口方向与△即可．