Question

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²+2x-6），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0），B（2，0），C（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=-6}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6；

（2）如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+m=0}\\{m=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x-6．
设P点坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²+2x-6），则点N的坐标为（x，-x-6），
∴PN=PE-NE=-（$\frac{1}{2}$x²+2x-6）+（-x-6）=-$\frac{1}{2}$x²-3x．
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴S=$\frac{1}{2}$PN•OA=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{2}$x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+3）²+$\frac{27}{2}$，
∴当x=-3时，S有最大值$\frac{27}{2}$，此时点P的坐标为（-3，-$\frac{15}{2}$）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y=$\frac{1}{2}$x²+2x-6=$\frac{1}{2}$（x+2）²-8，
∴顶点D的坐标为（-2，-8），
∵A（-6，0），
∴AD²=（-2+6）²+（-8-0）²=80．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，
即（0+6）²+（t-0）²+80=（0+2）²+（t+8）²，
解得t=3，
所以点M的坐标为（0，3）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，
即（0+2）²+（t+8）²+80=（0+6）²+（t-0）²，
解得t=-7，
所以点M的坐标为（0，-7）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，
即（0+6）²+（t-0）²+（0+2）²+（t+8）²=80，
解得t=-2或-6，
所以点M的坐标为（0，-2）或（0，-6）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，3）或（0，-7）或（0，-2）或（0，-6）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．