Question

（2013•泰州一模）已知一次函数y₁=2x和二次函数y₂=x²+1．
（1）求证：函数y₁、y₂的图象都经过同一个定点；
（2）求证：在实数范围内，对于任意同一个x的值，这两个函数所对应的函数值y₁≤y₂总成立；
（3）是否存在抛物线y₃=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且在实数范围内，对于同一个x的值，这三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂总成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y₁=y₂，得到2x=x²+1，得到其根的判别式等于0即可说明两图象只有一个交点，即经过同一个定点．
（2）把y₂化成完全平方的形式与y₁进行比较即可得出结论；
（3）由图可知，在实数范围内，对于x的同一个值，三个函数所对应的函数值y₁≤y₃≤y₂均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）²-4ac≤0得出a的值，于是可推理出抛物线的解析式．

解答：解：（1）令y₁=y₂，
得：2x=x²+1，
整理得：x²-2x+1=0
∵△=b²-4ac=（-2）²-4=0
∴直线y₁=2x与抛物线y₂=x²+1只有一个交点，
即：函数y₁、y₂的图象都经过同一个定点；

（2）在实数范围内，对于x的同一个值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（3）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即当x=1时，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）点为y₁和y₂的交点．
因为要满足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃图象必过（1，2）点．
又因为y₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函数ax²+（b-2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同样有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因为函数过（-5，2）和（1，2）两点，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
将b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立时 a=

1

3

，
将b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
满足条件a=

1

3

所以y₃的解析式为y₃=

1

3

（x²+4a+1）=

1

3

x2+

4

3

x+

1

3

．

点评：此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，难度较大．