Question

（2012•衡水一模）如图，已知二次函数y=-

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x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；
（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据S_△ABC=

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AC×BO可得出答案．
（3）AD长度固定，故只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置，求出直线A'D的函数解析式，可得出点P的坐标．

解答：解：（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

，
故这个二次函数的解析式为：y=-

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x²+4x-6．
（2）∵二次函数的解析式为：y=-

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x²+4x-6，
∴二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
∴AC=2，
故S_△ABC=

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AC×BO=6．
（3）存在，点P的坐标为（0，

2

3

）．

AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置，
∵点A'与点A关于y轴对称，
∴点A'的坐标为（-2，0），
又∵顶点D的坐标为（4，2），
∴直线A'D的解析式为：y=

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x+

2

3

，
令x=0，则y=

2

3

，即点P的坐标为（0，

2

3

）．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换，难点在第三问，注意运用轴对称的性质求最短路线．